Todennäköisyys on käsite, joka kulkee arjessa mukana lähes huomaamatta, sillä esimerkiksi lotto, arvonnat, korttipelit, sääennusteet ja jopa lääketieteelliset tutkimukset nojaavat siihen. Todennäköisyys laskuri puolestaan on työkalu, jonka avulla voit laskea erilaisten tapahtumien todennäköisyyksiä systemaattisesti ja selkeästi. Tämä artikkeli tarkastelee todennäköisyys laskuria eri näkökulmista, pohtien mikä se on, mihin sitä voi käyttää ja mitkä matematiikan periaatteet ovat sen taustalla.
Todennäköisyys laskuri on periaatteessa ohjelma, sovellus tai matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan selvittää tarkalleen, miten todennäköistä jonkin tapahtuman esiintyminen on. Perusmuodossaan se laskee suhteen siitä, kuinka monta suotuisaa lopputulosta voi tapahtua kaikkien mahdollisten lopputulosten joukkoon nähden.
Eli esimerkiksi sääennusteessa sään muuttuminen aurinkoisesta sateiseksi voi perustua siihen, kuinka monessa mallilaskelmassa lopputulos on sateinen kaikista simuloiduista vaihtoehdoista. Todennäköisyys voidaan ilmaista prosenttiosuutena, esimerkiksi 50 prosenttia.
Tämä simppeli laskentatapa toimii pohjana myös monimutkaisemmille esimerkeille, kuten taudin, (vaikkapa influenssan) leviämismallien arvioinnille tai vaikkapa suurten otantatutkimusten ennusteille.
Todennäköisyys laskurin käyttö perustuu siihen, että ongelma määritellään oikein. Eli mitä ollaan laskemassa, millaisia vaihtoehtoja onkaan olemassa ja mitkä vaihtoehdot lasketaan onnistumisiksi. Kun perusperiaatteet ovat selviä, laskin tekee raskaimman laskutyön puolestasi.
Näin laskurin käyttö hoituu vaihe vaiheelta:
Määritä tapahtuma: Päätä, mikä on se ilmiö tai kysymys, johon haluat vastauksen. Esimerkiksi: ”Mikä on todennäköisyys saada kolme ässää viidestä kortista?
Syöttää laskurin pyytämät tiedot: Riippuen siitä, mitä lasket, syötä tarvittavat tiedot laskuriin, kuten esimerkiksi korttien määrä ja muut vaadittavat muuttujat.
Tuloksien tulkinta: Kun olet syöttänyt tiedot oikein, laskuri antaa sinulle valmiin suhdeluvun ja usein myös prosenttimuotoisen todennäköisyyden.
Kuvitellaanpas vaikka, että haluat tietää todennäköisyyden sille, että jääkiekkoilija onnistuu tekemään kolme maalia viidestä peräkkäisestä rangaistuslaukauksestaan. Käsin laskeminen vaatisi monimutkaista binomijakauman soveltamista, mutta laskurissa riittää, että syötät onnistumisen todennäköisyyden yhdellä yrityksellä ja yritysten kokonaismäärän. Laskuri laskee taustalla kaikki mahdolliset yhdistelmät ja antaa suoraan lopputuloksen prosentteina ilman, että sinun tarvitsee tehdä raskasta laskutyötä itse.
Klassinen todennäköisyys pohjautuu periaatteeseen, että kaikilla mahdollisilla lopputuloksilla on yhtäläinen todennäköisyys. Se lasketaan kaavalla “suotuisat lopputulokset jaettuna kaikilla mahdollisilla lopputuloksilla”.
Eli siis esimerkiksi, jos avaat jääkaapin ja nappaat satunnaisesti yhden jogurttipurkin kuuden pakkauksesta, joista vain kaksi on mansikan makuisia, todennäköisyys saada mansikka on 2/6 eli noin 33 prosenttia.
Klassisen määritelmän vahvuus on sen yksinkertaisuudessa, mutta se ei riitä kaikkiin tapauksiin. Samaa kaavaa ei voida soveltaa tilanteissa, joissa todennäköisyydet eivät ole yhtä suuret, kuten rokotteen tehoa arvioitaessa tai kyselytutkimuksissa.
Permutaatio kuvaa erilaisten järjestysten määrää. Se liittyy todennäköisyyksiin silloin, kun kiinnostuksen kohteena ei ole pelkästään “mitä valitaan” vaan myös missä järjestyksessä. Permutaatioiden määrä lasketaan kertomalla kaikki luvut peräkkäin alas asti.
Jos kolme ihmistä esimerkiksi asettuu riviin, mahdollisia järjestyksiä on 6 kappaletta. Jos halutaan juuri tietty järjestys (A-B-C), sen todennäköisyys on 1/6 eli noin 16,67 prosenttia.
Laajemmin tätä sovelletaan esimerkiksi lotossa, sillä kun valitaan 7 numeroa 40:stä, mukana ovat sekä valintojen määrä että järjestysten laskenta.
Kombinatoriikka puolestaan tutkii sitä, miten monta erilaista yhdistelmää voidaan muodostaa, kun järjestyksellä ei ole merkitystä. Yleisimmillään se ilmaistaan kaavalla C(n, k) = n! / (k!(n−k)!).
Voit vaikkapa selvittää kuinka monta tapaa on valita 5 korttia 52 kortin pakasta. Tulos on C(52, 5) = 2 598 960.
Siksi vaikkapa pokerissa juuri tietyn käden, kuten värisuoran, todennäköisyys on äärimmäisen pieni. Tämä laskenta on myös pohjana monelle todennäköisyys laskurille, joiden avulla tällaiset laskutoimitukset voidaan selvittää vain muutaman klikkauksen välityksellä ilman raskaita laskutoimituksia.
Matemaattisia laskuja voi toki tehdä myös käsin, mutta jo muutamankin ilmiön samanaikainen tarkastelu tekee tilanteesta huomattavan monimutkaisen. Todennäköisyys laskuri säästää aikaa ja vähentää virheiden mahdollisuutta, sillä se hoitaa raskaat yhdistelmä- ja permutaatiolaskut automaattisesti.
Tämä tekee siitä hyödyllisen apuvälineen sekä opiskelussa että tutkimuksessa, mutta se palvelee myös arkisia harrastuksia kuten urheilutapahtumien ja lottoarvontojen arviointia. Sen avulla näet selkeästi, miten teoriassa opittu matemaattinen periaate toimii käytännössä, ja saat samalla täsmällisen vastauksen esittämääsi kysymykseen ilman manuaalista laskemista.
Tapahtumien todennäköisyys riippuu siitä, ovatko ne toisistaan riippumattomia vai riippuvaisia. Esimerkiksi jonossa odottavien asiakkaiden palveluaika voi olla riippumaton muiden asiakkaiden kestosta, jos jokainen hoidetaan erikseen, mutta taas ilman palautusta tehtävä kortin nosto on riippuvainen tapahtuma, koska jäljellä olevien korttien määrä muuttuu koko ajan.
Taulukot tarjoavat nopsan väylän arvioida tuloksia ilman, että jokaista laskua tarvitsee tehdä alusta asti. Esimerkiksi kuusisivuisen nopan kohdalla jokaisella silmäluvulla on yhtä suuri mahdollisuus, eli todennäköisyys saada mikä tahansa tietty luku on noin 16,67 prosenttia. Tämä esimerkki näyttää sen, kuinka symmetristä yksinkertainen tilanne voi olla. Monimutkaisemmissa tapauksissa, esimerkiksi normaalijakaumaa käsiteltäessä, taulukot sisältävät valmiiksi lasketut arvot, joita voidaan hyödyntää suoraan oman pulman selvittämisessä.
Keskeiset kaavat, joita todennäköisyyslaskennassa käytetään, voidaan ilmaista yksinkertaisesti. Perustodennäköisyys saadaan jakamalla suotuisat tapaukset kaikkien mahdollisten tapausten määrällä. Kahden riippumattoman tapahtuman yhteinen todennäköisyys taas löytyy kertomalla yksittäisten tapahtumien todennäköisyydet keskenään. Jos sen sijaan halutaan tietää kahden vaihtoehtoisen tapahtuman todennäköisyys, lasketaan yhteen kummankin yksittäinen todennäköisyys.
Tilastollinen todennäköisyys saadaan jakamalla onnistuneiden tapausten määrä havaintojen kokonaismäärällä. Jos esimerkiksi sadasta ihmisestä 12 on vasenkätisiä, vasenkätisyyden tilastollinen todennäköisyys on 12 prosenttia.
Todennäköisyys kertoo sinulle, kuinka suuri mahdollisuus on siihen, että tietty tapahtuma toteutuu.
Biologian ja väestötilastojen näkökulmasta juuri tietyn henkilön syntymisen todennäköisyys on äärettömän pieni, kun huomioidaan geenien yhdistelymahdollisuudet ja elämänkulkuun vaikuttavat tekijät.