Sisällysluettelo
Todennäköisyyslaskenta on matematiikan haara, joka tutkii satunnaisilmiöitä ja niissä esiintyviä tapahtumia. Sen avulla voidaan arvioida etukäteen, kuinka todennäköistä on, että jokin tapahtuma toteutuu. Todennäköisyys ilmaistaan aina luvulla nollan ja yhden väliltä. Mitä lähempänä arvo on yhtä, sitä varmempi tapahtuma on, ja mitä lähempänä nollaa, sitä epätodennäköisempi.
Mikä on todennäköisyyslaskenta?
Todennäköisyyslaskennan ydin on satunnaisilmiö, jossa lopputulos ei ole ennustettavissa varmasti etukäteen. Sen sijaan voidaan laskea, kuinka todennäköistä on, että jokin lopputulos toteutuu. Jos tapahtumassa on rajallinen määrä mahdollisia lopputuloksia, voidaan käyttää klassista määritelmää. Tästä syystä esimerkiksi lottotulokset voi tarkistaa vasta arvonnan jälkeen, sillä yksittäisen arvonnan lopputulos on aina sattumanvarainen.
Esimerkiksi nopanheitossa jokaisella kuudella silmäluvulla on yhtä suuri mahdollisuus. Todennäköisyys kuutosen saamiseen on yksi kuudesta eli 1/6. Tämä esimerkki on yksinkertainen, mutta periaate toimii myös monimutkaisemmissa ilmiöissä, kunhan mahdolliset lopputulokset ja niiden todennäköisyydet tunnetaan.
Miten se lasketaan?
Todennäköisyyslaskenta tehdään jakamalla suotuisten tapausten määrä kaikkien mahdollisten tapausten määrällä. Tämä perustuu kaavaan
P(A) = suotuisat tapaukset / kaikki mahdolliset tapaukset.
Jos esimerkiksi korttipakasta halutaan tietää ässän nostamisen todennäköisyys, lasketaan neljä ässää 52 kortin pakasta. Tulokseksi saadaan 4/52, joka supistuu muotoon 1/13. Tämä kertoo, että joka kolmannellatoista nostolla saadaan keskimäärin ässä, jos nosto tehdään satunnaisesti.
Monimutkaisemmissa tilanteissa, joissa on useita vaiheita, käytetään laskusääntöjä, kuten kertolasku- ja yhteenlaskusääntöä. Ne auttavat laskemaan todennäköisyyksiä, kun tapahtumat riippuvat toisistaan tai voivat esiintyä yhdessä.
Käytä todennäköisyys laskuria apunasi
Todennäköisyyslaskenta voi tuntua monimutkaiselta, kun tapahtumia ja muuttujia on useita. Tällöin todennäköisyyslaskuri on hyödyllinen työkalu etenkin silloin, kun laskut muuttuvat monivaiheisiksi. Verkossa toimivat laskurit osaavat käsitellä suuria otoksia, monimutkaisia kaavoja ja antaa tulokset selkeästi. Niitä voi hyödyntää esimerkiksi arpajaislippujen, monen nopan samanaikaisten heittojen tai korttipelien tilanteissa.
Vaikka laskuri helpottaa laskemista, on tärkeää ymmärtää perusperiaatteet. Ilman niitä ei voi arvioida, onko laskurin antama tulos järkevä. Laskuri toimii apuvälineenä, mutta varsinainen ajattelu ja ongelman hahmottaminen perustuvat matematiikan sääntöihin.
Tilastot
Tilastotiede käsittelee aineiston keruuta, analysointia ja tulkintaa. Tilastojen avulla voidaan tehdä päätelmiä suuresta joukosta havaintoja, vaikka käytettävissä olisi vain osa eli otos. Todennäköisyys liittyy tiiviisti tilastoihin, sillä todennäköisyysjakaumat toimivat monien tilastollisten menetelmien perustana.
Esimerkiksi kyselytutkimuksessa otos kuvaa koko väestöä. Tilastollisten menetelmien avulla arvioidaan, kuinka luotettavia johtopäätökset ovat ja mikä on virhemarginaali. Tällöin todennäköisyys kertoo, millä varmuudella tulokset pätevät myös koko populaatioon.
Kombinatoriikka
Kombinatoriikka tutkii erilaisten yhdistelmien ja järjestysten lukumääriä. Se antaa välineet laskea, kuinka monta eri vaihtoehtoa syntyy tietyistä ehdoista.
Permutaatio tarkoittaa kaikkien alkioiden järjestämistä. Jos esimerkiksi kolmesta kirjaimesta A, B ja C muodostetaan järjestyksiä, mahdollisia permutaatioita on kuusi: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ja CBA.
Kombinaatio taas tarkoittaa valintoja, joissa järjestyksellä ei ole merkitystä. Jos kuudesta henkilöstä valitaan kolme, erilaisia ryhmiä on kymmenen. Näitä laskutoimituksia käytetään todennäköisyyslaskennassa, kun halutaan selvittää esimerkiksi korttipelien tai arvontojen vaihtoehtojen määrää.
Todennäköisyyslaskenta esimerkkejä
Jos heitetään kahta noppaa, niiden silmälukujen summa voi vaihdella kahdesta kahteentoista. Todennäköisyys saada summa seitsemän on 6/36 eli 1/6. Korttipakasta vedettäessä herttaässän todennäköisyys on 1/52. Jos kolikko heitetään kolme kertaa, todennäköisyys saada kolme kruunaa on 1/8.
Todennäköisyyksien laskusääntöjä
Yhteenlaskusääntö pätee, kun lasketaan kahden tapahtuman esiintymistä. Jos tapahtumat ovat poissulkevia, kuten nopan silmäluku 3 tai 5, voidaan niiden todennäköisyydet laskea yhteen. Jos tapahtumat eivät ole poissulkevia, on huomioitava niiden yhteinen osuus.
Kertolaskusääntöä käytetään riippumattomissa tapahtumissa. Jos halutaan tietää, että kolikonheitossa tulee kruuna ja nopanheitossa kuutonen, lasketaan 1/2 × 1/6 = 1/12.
Komplementtisääntö kertoo, että tapahtuman vastatapahtuman todennäköisyys on yksi miinus tapahtuman todennäköisyys. Esimerkiksi todennäköisyys, että kortti ei ole ässä, on 1 – 1/13 = 12/13.
Todennäköisyysjakauma
Todennäköisyysjakauma kuvaa, miten satunnaismuuttuja saa eri arvoja ja millä todennäköisyyksillä. Diskreetti jakauma liittyy tilanteisiin, joissa arvoja on rajallinen määrä, kuten nopan silmäluvut. Jatkuva jakauma liittyy ilmiöihin, joissa arvo voi olla mikä tahansa tietyllä välillä, esimerkiksi pituus tai lämpötila.
Normaalijakauma on tunnetuin jatkuva jakauma. Se esiintyy monissa luonnollisissa ilmiöissä ja sillä on kellokäyrän muoto. Binomijakauma taas kuvaa toistettavia kokeita, kuten kolikonheittoja. Poisson-jakauma liittyy harvinaisiin tapahtumiin, kuten vikojen esiintymiseen tietyllä aikavälillä.
UKK
Millä todennäköisyydellä kahta noppaa heitettäessä ainakin toinen on kuutonen?
Todennäköisyys, että kumpikaan nopa ei ole kuutonen, on 25/36. Vastaavasti todennäköisyys, että ainakin toinen on kuutonen, on 1 – 25/36 = 11/36.
Miten lasketaan tilastollinen todennäköisyys?
Tilastollinen todennäköisyys saadaan jakamalla havaittujen suotuisten tapahtumien määrä kaikkien havaintojen määrällä. Se perustuu aineistoon eikä teoreettisiin oletuksiin.
Millä todennäköisyydellä 52-kortin korttipakasta vedetty kortti on kuvakortti?
Kuvakortteja on yhteensä 12. Todennäköisyys on 12/52, joka supistuu muotoon 3/13.
